14.(文科)已知拋物線y2=2x,直線l過(guò)點(diǎn)(0,2)與拋物線交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0,求直線l的方程.

分析 將直線方程代入拋物線方程,利用OM⊥ON,轉(zhuǎn)化為x1x2+y1y2=0,從而可求k的值,進(jìn)而可求直線l的方程.

解答 解:由題意知直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為y=kx+2(k≠0),--------(1分)
與拋物線y2=2x聯(lián)立,消去x得ky2-2y+4=0,-------------(3分)
△=4-16k>0⇒k<$\frac{1}{4}$(k≠0),------------(4分)
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則y1+y2=$\frac{2}{k}$,y1•y2=$\frac{4}{k}$,-------------(5分)
y12=2x1,y22=2x2⇒x1•x2=$\frac{1}{4}$(y1•y22=$\frac{4}{{k}^{2}}$
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0,∴OM⊥ON⇒kOM•kON=-1,
∴x1•x2+y1•y2=0,-------------(9分)
∴$\frac{4}{{k}^{2}}$+$\frac{4}{k}$=0,解得k=-1.-----------(10分)
所以所求直線方程為y=-x+2,即x+y-2=0.-----------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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4.如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠ABC=60°,E,F(xiàn)分別為DC,AB的中點(diǎn),將△DAE沿AE折起,使得∠DEC=120°.
(Ⅰ)求證:平面DCF⊥平面DCE;
(Ⅱ)求點(diǎn)B到平面DCF的距離.

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5.觀察下列等式:
12=1
32=2+3+4
52=3+4+5+6+7
72=4+5+6+7+8+9+10
92=5+6+7+8+9+10+11+12+13

n2=100+101+102+…+m
則n+m=497.

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2.設(shè)常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$為奇函數(shù),則a的值為(  )
A.1B.-2C.4D.3

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9.在正四面體P-ABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是②.
①BC∥面PDF;
②面PDF⊥面ABC;
③DF⊥面PAE;
④面PAE⊥面ABC.

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19.過(guò)點(diǎn)(5,2)且在y軸上的截距與在x軸上的截距相等的直線有( 。
A.1條B.2條C.3條D.不能確定

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6.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+x2-ax.
(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若f(x)≤$\frac{1}{2}$(3x2+$\frac{1}{x^2}$-6x)在x∈(0,1]內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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3.用一個(gè)平面截半徑為25cm的球,截面面積是225πcm2,則球心到截面的距離是(  )
A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm

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16.袋中裝有大小相同且質(zhì)地一樣的五個(gè)球,五個(gè)球上分別標(biāo)有2,3,4,6,9這五個(gè)數(shù).現(xiàn)從中隨機(jī)選取兩個(gè)球,則所選的兩個(gè)球上的數(shù)字至少有一個(gè)是奇數(shù)的概率是$\frac{7}{10}$.

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