Question

14．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個實數(shù)p，q，且p≠q，不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （12，30]
• B． （-∞，18]
• C． [18，+∞）
• D． （-12，18]

Answer 1

分析 依題意知，不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞2恒成立等價轉(zhuǎn)化為f′（x+1）＞2恒成立，分離參數(shù)a，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=aln（x+1）-x²，
∴f（x+1）=aln[（x+1）+1]-（x+1）²，
∴f′（x+1）=$\frac{a}{x+2}$-2（x+1），
∵p，q∈（0，1），且p≠q，
∴不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞2恒成立?$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{（p+1）-（q+1）}$＞2恒成立?f′（x+1）＞2恒成立，
即$\frac{a}{x+2}$-2（x+1）＞2（0＜x＜1）恒成立，
整理得：a＞2（x+2）²（0＜x＜1）恒成立，
∵函數(shù)y=2（x+2）²的對稱軸方程為x=-2，∴該函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
∴2（x+2）²＜18，
∴a≥18．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，將不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞2恒成立等價轉(zhuǎn)化為f′（x+1）＞2恒成立是解決問題關(guān)鍵，也是難點，突出考查化歸思想與理解應(yīng)用能力，屬于難題．