Question

7．已知數(shù)列{a_n}的通項a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$），n∈N^*，其前n項和為S_n，則S₆₀=1840．

Answer 1

分析 利用倍角余弦公式得出a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$）=n²cos$\frac{2nπ}{3}$，周期為3，再利用分組法求和，即可得到所求值．

解答 解：a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$）=n²cos$\frac{2nπ}{3}$，
由T=$\frac{2π}{\frac{2π}{3}}$=3，即最小正周期為3，
所以a_3k-2+a_3k-1+a_3k=-$\frac{1}{2}$（3k-2）²-$\frac{1}{2}$（3k-1）²+（3k）²=9k-$\frac{5}{2}$，其中k∈N^*
所以S₆₀=9×（1+2+3+…+20）-$\frac{5}{2}$×20=9×210-50=1840．
故答案為：1840．

點評 本題考查數(shù)列求和方法：分組求和，考查三角函數(shù)的二倍角公式和周期公式的運用，用k表示相鄰三項的和是解題的關(guān)鍵．