Question

2．向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，cosθ），其中θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的范圍是（$\sqrt{3}$，3]．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$的取值范圍，即得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的取值范圍．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，cosθ），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（1+sinθ$\sqrt{3}$+cosθ），
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=（1+sinθ）²+${（\sqrt{3}+cosθ）}^{2}$
=1+2sinθ+sin²θ+3+2$\sqrt{3}$cosθ+cos²θ
=5+2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ
=5+4sin（θ+$\frac{π}{3}$）；
又θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴θ+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴4sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈（-2，4]，
∴5+4sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈（3，9]，
即${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$∈（3，9]；
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|∈（$\sqrt{3}$，3]．
故答案為：（$\sqrt{3}$，3]．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，也考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，是綜合性題目．