Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

1

2

×log₂x²，其中x∈[

1

2

，8]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若實(shí)數(shù)a滿足f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將函數(shù)解析式化為函數(shù)f（x）=-2log₂x，由函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合x∈[

1

2

，8]，可得f（x）的最大值和最小值；
（2）若實(shí)數(shù)a滿足f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立，則a≤f（x）_min，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂

1

2

×log₂x²=-2log₂x為減函數(shù)，
又∵x∈[

1

2

，8]．
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）取最大值2，
當(dāng)x=8時(shí)，f（x）取最小值-6，
（2）若實(shí)數(shù)a滿足f（x）-a≥0恒成立，
即a≤f（x）恒成立，
則a≤f（x）_min，
由（1）得a≤-6，
故a的取值范圍為：（-∞，-6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問(wèn)題，其中熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．