Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在x₀∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x₀）＜0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)f（x）的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-（1+a））}{{x}^{2}}$，從而討論判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而化存在性問(wèn)題為最值問(wèn)題，從而解得．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-（1+a））}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)1+a≤0，即a≤-1時(shí)，
f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)1+a＞0，即a＞-1時(shí)，
x∈（0，1+a）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1+a）上是減函數(shù)，在（1+a，+∞）上是增函數(shù)；
（2）①當(dāng)a≤-1時(shí)，
存在x₀∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x₀）＜0成立可化為
f（1）=1+1+a＜0，
解得，a＜-2；
②當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，
存在x₀∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x₀）＜0成立可化為
f（1）=1+1+a＜0，解得，a＜-2；
③當(dāng)0＜a≤e-1時(shí)，
存在x₀∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x₀）＜0成立可化為
f（1+a）=1+a-aln（1+a）+1＜0，無(wú)解；
④當(dāng)e-1＜a時(shí)，
存在x₀∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x₀）＜0成立可化為
f（e）=e-a+$\frac{1+a}{e}$＜0，
解得，a＞$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$；
綜上所述，
a的取值范圍為（-∞，-2）∪（$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問(wèn)題的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于難題．