Question

13．某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是邊長為1的正方形，則此幾何體的外接球和內(nèi)接球的半徑分別為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{12}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是正方體中的內(nèi)接正四面體，
求出正四面體的邊長，則它的外接球直徑是正方體的對角線長；
利用正四面體的體積可以求出它的內(nèi)切球的半徑．

解答 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是正方體中的內(nèi)接正四面體，
且該正四面體的邊長為$\sqrt{2}$，如圖所示；
∴該幾何體的外接球的直徑2R是該正方體的對角線長$\sqrt{3}$，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
設(shè)該正四面體內(nèi)切球的半徑為r，則
該正四面體的體積為
1³-4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1²×1=4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×${（\sqrt{2}）}^{2}$×sin60°×r，
解得r=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴該正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑分別為$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故選：A．

點評 本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與計算能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題目．