Question

已知函數f（x）=|x+1|+|x-a|
（Ⅰ）若a=3，解不等式f（x）≥6；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥6對任意的實數x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）若a=3，不等式即|x+1|+|x-3|≥6，根據絕對值的意義求得|x+1|+|x-3|≥6的解集．
（Ⅱ）根據絕對值的意義，|x+1|+|x-a|的最小值為|a+1|，由|a+1|≥6，求得實數a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）若a=3，不等式f（x）≥6，即|x+1|+|x-3|≥6．
根據絕對值的意義，|x+1|+|x-3|表示數軸上的x對應點到-1、3對應點的距離之和，
而數軸上-2 和4對應點滿足對應點到-1、3對應點的距離之和正好等于6，
故|x+1|+|x-3|≥6的解集為（-∞，-2]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）根據絕對值的意義，|x+1|+|x-a|表示數軸上的x對應點到-1、a對應點的距離之和，
它的最小值為|a+1|，
若不等式f（x）≥6對任意的實數x恒成立，則|a+1|≥6，求得a≥5，或a≤-7，
故實數a的取值范圍為（-∞，-7]∪[5，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．