Question

14．設F為拋物線C：y²=4x的焦點，過點P（-1，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點，若|FQ|=2$\sqrt{3}$，則直線l的斜率等于$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設直線l的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、Q（x₀，y₀）．解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，由此利用韋達定理、點到直線距離公式能求出直線的斜率．

解答 解：設直線l的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、Q（x₀，y₀）．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化簡得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=$\frac{4}{k}$，
∴x₀=$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$，y₀=$\frac{2}{k}$，
由$\sqrt{（{x}_{0}-1）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，得：（$\frac{2-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$）²+（$\frac{2}{k}$）²=12．
∴k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、點到直線距離公式的合理運用．