Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：當x＞1時，f（x）＜x-1
（Ⅲ）設h（x）=f（x）-k（x-1），若h（x）存在最大值，且當最大值大于2k-2時，確定實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），f（1）的值，代入切線方程整理即可；
（Ⅱ）問題轉化為當x＞1時，f（x）-x+1＜0恒成立，設g（x）=f（x）-x+1，根據(jù)函的單調性求出g（x）＜0，從而證出結論；
（Ⅲ）求出h（x）的導數(shù)，通過討論k的范圍，確定函數(shù)的單調區(qū)間，得到函數(shù)的最大值，解關于k的不等式，從而求出k的范圍即可．

解答 （Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}$，
由題意，f′（1）=1，f（1）=0，
∴函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．…（4分）
（Ⅱ）證明：當x＞1時，f（x）＜x-1，可轉化為：
當x＞1時，f（x）-x+1＜0恒成立，
設g（x）=f（x）-x+1，
所以$g'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
當x＞1時，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（1）=0，
∴當x＞1時，f（x）＜x-1成立．…（8分）
（Ⅲ）設h（x）=f（x）-k（x-1），定義域為（0，+∞），
所以$h'（x）=\frac{1}{x}-k=\frac{1-kx}{x}$．
（1）當k≤0時，對于任意的x＞0，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以h（x）無最大值，即k≤0不符合題意；
（2）當k＞0時，令h′（x）=0，即1-kx=0，則$x=\frac{1}{k}＞0$．
所以h（x），h′（x）變化如下：

x	0	$（0，\frac{1}{k}）$	$\frac{1}{k}$	$（\frac{1}{k}，+∞）$
h′（x）		+	0	-
h（x）	h（0）	↗	極大值	↘

∵$h{（x）_{max}}=h（{\frac{1}{k}}）=ln\frac{1}{k}-1+k$，
∴$ln\frac{1}{k}-1+k＞2k-2$成立，即lnk＜-k+1，
令p（k）=lnk+k-1，k＞0，
∴$p'（k）=\frac{1}{k}+1＞0$，即p（k）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又∵p（1）=0，所以當0＜k＜1時，p（k）＜p（1）=0，
∴0＜k＜1時，命題成立．
綜上，k的取值范圍為（0，1）．…（14分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．