Question

19．已知拋物線C₁的方程為：x²=4y，圓C的方程為：x²+（y+r）²=r²（r＞0），直線l為拋物線C₁和圓C₂的公共切線，切點(diǎn)分別為A及C′，F(xiàn)為拋物線C₁的焦點(diǎn)，連結(jié)A，F(xiàn)交拋物線于點(diǎn)B．
（1）當(dāng)r=1時(shí)，求直線l的方程；
（2）用r表示△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）r=1時(shí)，圓C的方程為：x²+（y+1）²=1．圓心G（0，-1），半徑r=1．設(shè)A$（t，\frac{{t}^{2}}{4}）$，對(duì)方程：x²=4y，兩邊求導(dǎo)可得：y′=$\frac{1}{2}x$．可得經(jīng)過點(diǎn)A的切線l的方程為：2tx-4y-t²=0，再利用直線l與圓C相切的充要條件即可得出．
（2）由（1）直線l與圓相切的性質(zhì)可得：$\frac{|4r-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=r，化為：t²=4r²+8r．直線AB的方程為：y=$\frac{\frac{{t}^{2}}{4}-1}{t}$x+1，與拋物線方程聯(lián)立化為tx²-（t²-4）x-4t=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得B$（\frac{-4}{t}，\frac{4}{{t}^{2}}）$．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)B到切線l的距離d=$\frac{|-8-\frac{16}{{t}^{2}}-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=$\frac{（r+1）^{3}}{r（r+2）}$．又由|AC|²=|AG|²-r²，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AC|d．

解答 解：（1）r=1時(shí)，圓C的方程為：x²+（y+1）²=1．圓心G（0，-1），半徑r=1．
設(shè)A$（t，\frac{{t}^{2}}{4}）$，
對(duì)方程：x²=4y，兩邊求導(dǎo)可得：y′=$\frac{1}{2}x$．
∴經(jīng)過點(diǎn)A的切線l的方程為：$y-\frac{{t}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$t（x-t），化為：2tx-4y-t²=0，
又直線l與圓C相切可得：$\frac{|4-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=1，
解得：t=$±2\sqrt{3}$．
∴直線l的方程為：±$\sqrt{3}$x-y-3=0．
（2）F（0，1）．
由（1）可得：$\frac{|4r-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=r，
化為：t²=4r²+8r．
直線AB的方程為：y=$\frac{\frac{{t}^{2}}{4}-1}{t}$x+1，即y=$\frac{{t}^{2}-4}{4t}$x+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{t}^{2}-4}{4t}x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化為tx²-（t²-4）x-4t=0，
∴t•x_B=-4，解得x_B=$\frac{-4}{t}$，∴y_B=$\frac{4}{{t}^{2}}$，∴B$（\frac{-4}{t}，\frac{4}{{t}^{2}}）$．
∴點(diǎn)B到切線l的距離d=$\frac{|-8-\frac{16}{{t}^{2}}-{t}^{2}|}{\sqrt{4{t}^{2}+16}}$=$\frac{{t}^{4}+8{t}^{2}+16}{2{t}^{2}\sqrt{{t}^{2}+4}}$=$\frac{（{t}^{2}+4）^{2}}{2{t}^{2}\sqrt{{t}^{2}+4}}$=$\frac{16（r+1）^{4}}{2（4{r}^{2}+8r）×2（r+1）}$=$\frac{（r+1）^{3}}{r（r+2）}$．
∵|AC|²=|AG|²-r²=${t}^{2}+（\frac{{t}^{2}}{4}+r）^{2}$-r²=${t}^{2}+\frac{{t}^{4}}{16}$+$\frac{{t}^{2}r}{2}$．
∴|AC|=$\frac{\sqrt{{t}^{4}+16{t}^{2}+8{t}^{2}r}}{4}$=$\frac{\sqrt{（4{r}^{2}+8r）（4{r}^{2}+8r+16+8r）}}{4}$=$（r+2）\sqrt{r（r+2）}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AC|d=$\frac{1}{2}$×$（r+2）\sqrt{r（r+2）}$×$\frac{（r+1）^{3}}{r（r+2）}$=$\frac{（r+1）^{3}\sqrt{{r}^{2}+2r}}{2r}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．