Question

17．在△ABC中，tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，若$\frac{a+sinA}{b+sinB}$=$\frac{3}{2}$，則tanB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡$\frac{a+sinA}{b+sinB}$=$\frac{3}{2}$可得：3sinB=2sinA①，由三角函數恒等變換的應用化簡tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，解得cosC=$\frac{1}{2}$，C為三角形內角，可得C=$\frac{π}{3}$．由①利用兩角差的正弦函數公式及同角三角函數關系式即可解得tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴若$\frac{a+sinA}{b+sinB}$=$\frac{3}{2}$，則3b-2a=2sinA-3sinB，可得：6RsinB-4RsinA=2R（3sinB-2sinA）=-（3sinB-2sinA），
∴可得：3sinB=2sinA①，
∵tan$\frac{A+B}{2}$=$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sinC=2sin（A+B）=4sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，解得：cos²$\frac{A+B}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1+cos（A+B）}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得：cosC=-cos（A+B）=$\frac{1}{2}$，C為三角形內角，可得C=$\frac{π}{3}$．
∴由①可得：3sinB=2sin（$\frac{2π}{3}-$B）=$\sqrt{3}$cosB+sinB，解得：tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，熟練掌握和靈活應用相關公式定理是解題的關鍵，屬于中檔題．