Question

8．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率為$\frac{1}{2}$．過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)），點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB．
（1）求橢圓C的右準(zhǔn)線方程為：x=4．求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線BD、AB的斜率分別為k₁，k₂，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和準(zhǔn)線方程，及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），運(yùn)用直線的斜率公式，由兩直線垂直的條件，可得AD的斜率，設(shè)直線AD的方程為y=kx+m（k、m≠0），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率公式可得BD的斜率，進(jìn)而得到所求值．

解答 解：（1）離心率為$\frac{1}{2}$，即為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
右準(zhǔn)線方程為：x=4，即為$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，
由b²=a²-c²，解方程可得a=2，b=$\sqrt{3}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∵k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，AD⊥AB，∴直線AD的斜率k=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
設(shè)直線AD的方程為y=kx+m（k、m≠0），代入橢圓方程，
消去y整理得：（b²+a²k²）x²+2ma²k²x+a²m²-a²b²=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2m{a}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
由題可知：x₁≠-x₂，∴k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{-k{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$k₂，
即有$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值為$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
，即$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與橢圓的綜合題，考查橢圓方程的求法，以及橢圓的性質(zhì)，運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題