Question

16．已知等比數(shù)列{x_n}的各項為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{y_n}滿足y_n•log${\;}_{{x}_{n}}$a=2（a＞0且a≠1），已知y₄=17，y₇=11．
（1）數(shù)列{y_n}的前多少項和最大？最大值是多少？
（2）是否存在正整數(shù)M，使當n＞M時，x_n＞1恒成立？若存在，求M的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出y_n-1-y_n=2log_aq為常數(shù)，從而證明{y_n}是等差數(shù)列；求出{y_n}是首項為23，公差為-2的等差數(shù)列，進而求出y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，設{y_n}的前n項和為T_n，T_n=-n²+24n=-（n-12）²+144，由此求出當n=12時，前12項和最大，最大值為144．
（2）由y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，知x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，由此能夠得出結論．

解答 解：（1）設數(shù)列{x_n}的公比為q，則x_n=x₁q^n-1，
∴y_n=2log_ax_n=2log_ax₁+2（n-1）log_aq，
∴y_n-1-y_n=2log_ax₁+2nlog_aq-[2log_ax₁+2（n-1）log_aq]=2log_aq為常數(shù)，
∴{y_n}是等差數(shù)列；
設公差為d，由y₄=17，y₇=11，
可得y₁+3d=17，y₁+6d=11
解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，
設{y_n}的前n項和為T_n，
T_n=$\frac{n（23+25-2n）}{2}$=-n²+24n=-（n-12）²+144，
∴當n=12時，前12項和最大，最大值為144．
（2））∵y_n=25-2n=2log_ax_n，
∴x_n=a^12.5-n．又x_n=a^12.5-n＞1，
當a＞1時，12.5-n＞0，n＜12.5；
當0＜a＜1時，12.5-n＜0，n＞12.5．
綜上所述，當0＜a＜1時，存在正整數(shù)M≤13，使得當n＞M時，x_n＞1恒成立．

點評 本題考查數(shù)列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．