Question

已知cosx-sinx∈[1，

2

]，求函數(shù)y=1-cosx+sinx+sinxcosx的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：設(shè)t=cosx-sinx，由平方關(guān)系求出sinxcosx，代入函數(shù)解析式化簡，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值、最小值，即可求出函數(shù)的值域．

解答： 解：設(shè)t=cosx-sinx∈[1，

2

]，所以t²=1-2sinxcosx，
則sinxcosx=

1-t2

2

，代入y=1-cosx+sinx+sinxcosx得，
y=1-t+

1-t2

2

=-

1

2

t2-t+

3

2

=-

1

2

(t+1)2+2，
因為t∈[1，

2

]，所以當(dāng)t=1時取函數(shù)最大值是0；當(dāng)t=

2

時取函數(shù)最小值是

1

2

-

2

，
故所求的函數(shù)的值域是[

1

2

-

2

，4]．

點評：本題考查“cosx-sinx”與“sinxcosx”之間的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，及換元法求出函數(shù)的值域，屬于中檔題．