Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=6sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數(shù)），直線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₃：：ρ=4．
（I）若C₂與C₃相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）P為C₃上一點(diǎn)，P的極坐標(biāo)為（4，$\frac{3π}{2}$），Q為C₁上的動(dòng)點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為M，求M到直線C₂的距離的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出C₃的普通方程，將C₂的參數(shù)方程代入C₃的普通方程求出交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，則|AB|為兩參數(shù)差的絕對(duì)值；
（II）P（0，-4），設(shè)Q（8cosθ，6sinθ），則M（4cosθ，3sinθ-2）．代入點(diǎn)到直線的距離公式得到距離d關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)，求出此函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（I）曲線C₃的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=16．
將直線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²+y²=4得t²=7．
∴t=±$\sqrt{7}$．
∴|AB|=|$\sqrt{7}$-（-$\sqrt{7}$）|=2$\sqrt{7}$．
（II）P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0，-4）．設(shè)Q坐標(biāo)為（8cosθ，6sinθ），則M（4cosθ，3sinθ-2）．
直線C₂的普通方程為x-y-2=0．
∴M到直線C₂的距離d=$\frac{|4cosθ-3sinθ|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5|cos（θ+φ）|}{\sqrt{2}}$．
∴M到直線C₂的距離的最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．