Question

20．為了解甲、乙兩個(gè)班級某次考試的數(shù)學(xué)成績（單位：分），從甲、乙兩個(gè)班級中分別隨機(jī)抽取5名學(xué)生的成績作樣本，如圖是樣本的莖葉圖，規(guī)定：成績不低于120分時(shí)為優(yōu)秀成績．
（1）從甲班的樣本中有放回的隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，求其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績的概率；
（2）從甲、乙兩個(gè)班級的樣本中分別抽取2名學(xué)生的成績，記獲優(yōu)秀成績的總?cè)藬?shù)為X，求X的分布列．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖知甲班樣本的5個(gè)數(shù)據(jù)中優(yōu)秀成績有2個(gè)，非優(yōu)秀成績有3個(gè)，由此能求出從甲班的樣本中有放回的隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績的概率．
（2）由莖葉圖知甲班樣本的5個(gè)數(shù)據(jù)中優(yōu)秀成績有2個(gè)，非優(yōu)秀成績有3個(gè)，乙班樣本的5個(gè)數(shù)據(jù)中優(yōu)秀成績有1個(gè)，非優(yōu)秀成績有4個(gè)，X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（1）由莖葉圖知甲班樣本的5個(gè)數(shù)據(jù)中優(yōu)秀成績有2個(gè)，非優(yōu)秀成績有3個(gè)，
從甲班的樣本中有放回的隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，
基本事件總數(shù)n=5×5=25，
其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績包含的基本事件個(gè)數(shù)為：
m=2×3+3×2=12，
∴其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{12}{25}$．
（2）由莖葉圖知甲班樣本的5個(gè)數(shù)據(jù)中優(yōu)秀成績有2個(gè)，非優(yōu)秀成績有3個(gè)，
乙班樣本的5個(gè)數(shù)據(jù)中優(yōu)秀成績有1個(gè)，非優(yōu)秀成績有4個(gè)，
∴X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{18}{100}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}+\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{48}{100}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}+\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{30}{100}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{4}{100}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{18}{100}$	$\frac{48}{100}$	$\frac{30}{100}$	$\frac{4}{100}$

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．