Question

2．如圖，圓O內(nèi)的兩條弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距離為4，則O到CD的距離為（　�。�

• A． 7
• B． $\sqrt{39}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 8

Answer 1

分析 取CD中點M，連接OD、OM、OP、OA，可得OM⊥CD且OP⊥AB．Rt△OPA中運用勾股定理算出OA=4$\sqrt{2}$，根據(jù)相交弦定理和題中數(shù)據(jù)算出弦CD=10，從而在Rt△OMD中用勾股定理算出OM，即得圓心O到CD的距離．

解答 解：取CD中點M，連接OD、OM、OP、OA，
根據(jù)圓的性質(zhì)，OM⊥CD，OM即為O到CD的距離，
∵PA=PB=4，即P為AB中點，
∴OP⊥AB，可得OP=4．
Rt△OPA中，OA=$\sqrt{O{P}^{2}+A{P}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵PA=PB=4，PD=4PC，
∴由PA•PB=PC•PD，即4²=4PC²，可得PC=2，
因此，PD=4PC=8，得CD=10，
∴Rt△OMD中，DM=$\frac{1}{2}$CD=5，OD=OA=4$\sqrt{2}$，
可得OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故選：C．

點評 本題給出圓的相交弦，在已知交點分弦的比值情況下求弦到圓心的距離，著重考查了相交弦定理、垂徑定理等圓的常用性質(zhì)的知識，屬于基礎(chǔ)題．