Question

【題目】已知兩定點，，點P是平面內的動點，且，記動點P的軌跡是W.

（1）求動點P的軌跡W的方程；

（2）圓與x軸交于C，D兩點，過圓上一動點K（異于C，D點）作兩條直線KC，KD分別交軌跡W于G，H，M，N四點.設四邊形GMHN面積為S，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設，，則易知：，，則，，由此可得，知點軌跡是橢圓，從而可得標準方程；

（2）由即，過點且平行于的直線交橢圓為、兩點，由橢圓的對稱知：，因此求出即可得，設的方程為：，由橢圓中的弦長公式（韋達定理求解）得，同理有，

，設，把用表示后求出取值范圍，然后再得的范圍．

解：（1）設，，則易知：，，

則，，

由知：，

則P的軌跡是以，為焦點且長軸長為4的橢圓，，

則P的軌跡W的方程為：；

（2）由即，，的斜率存在且不為零，兩直線分別過，，設，的斜率分別為k、，則：.

設過點且平行于的直線交橢圓為、兩點，的斜率，

由橢圓的對稱知：，

設的方程為：，由得：，

易知恒成立，設，，則，，

故，

同理得：，

則，

令，則，

故，則的取值范圍為.