Question

9．設(shè)方程ax²+2x+1=0（a∈R）的根是集合A的元素，求集合A的元素個數(shù)．

Answer 1

分析 分類討論，集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}只有一個元素，根據(jù)集合元素的確定性，我們可以將問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于x的方程ax²+2x+1=0有且只有一個解，分類討論二次項系數(shù)a的值，結(jié)合二次方程根與△的關(guān)系，得到答案；再考慮二次方程解的個數(shù)即可．

解答 解：若集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}只有一個元素，
則方程ax²+2x+1=0有且只有一個解
當(dāng)a=0時，方程可化為2x+1=0，滿足條件；
當(dāng)a≠0時，二次方程ax²+2x+1=0有且只有一個解
則△=4-4a=0，解得a=1
∴a的值為0或1，集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}只有一個元素；
當(dāng)a≠0，△=4-4a＜0，即a＞1時，集合A的元素個數(shù)是0；
當(dāng)a≠0，△=4-4a＞0，即a＜1且a≠0時，集合A的元素個數(shù)是2；

點評 本題考查的知識點是集合元素的確定性及方程根的個數(shù)的判斷及確定，其中根據(jù)元素的確定性，將問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于x的方程ax²+2x+1=0的解的個數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．