Question

8．如圖，在三棱柱V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分別為AB，VA的中點．
（1）求證：AB∥MOC；
（2）求證：平面MOC⊥平面VAB；
（3）求二面角M-OC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）推導出OM∥VB，由此能證明VB∥平面MOC．
（2）推導出OC⊥AB，從而OC⊥平面VAB，由此能證明平面MOC⊥平面VAB．
（3）推導出OC⊥OA，OC⊥OM，從而∠AOM為二面角M-OC-A的平面角，由此能求出二面角M-OC-A的大小．

解答 （本題滿分9分）
證明：（1）因為O，M分別為AB，VA的中點，所以OM∥VB．
又因為OM?平面MOC，VB?平面MOC，
所以VB∥平面MOC．（3分）
（2）因為AC=BC，O為AB中點，所以OC⊥AB．
因為平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC=AB，OC?平面ABC，
所以OC⊥平面VAB．
因為OC?平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB．（6分）
解：（3）由（2）知OC⊥平面VAB，
所以OC⊥OA，OC⊥OM，
所以∠AOM為二面角M-OC-A的平面角．
因為O，M分別為AB，VA的中點，所以OM∥VB
所以∠AOM=∠VBA=60°，
所以二面角M-OC-A的大小為60°．（9分）

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．