Question

已知函數f（x）=ax²-3x+2+2lnx（a＞0）
（1）當a=-1時，求函數f（x）的單調區(qū)間，并指出在每個單調區(qū)間上是增函數還是減函數；
（2）求實數a的取值范圍，使對任意的x∈[1，+∞），恒有f（x）≥0成立．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）將a=-1帶入f（x），并求f′（x）=

-2x2-3x+2

x

，x＞0，令-2x²-3x+2=0得x=

1

2

，或-2（舍去），然后判斷f′（x）在（0，

1

2

）和（

1

2

，+∞）上的符號即可找到f（x）的單調區(qū)間以及判斷f（x）的單調性；
（2）根據題意知，f（1）≥0，所以a≥1．求f′（x）=

2ax2-3x+2

x

，x＞0，可以判斷出2ax²-3x+2＞0恒成立，從而得到f′（x）＞0恒成立，所以函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，所以f（x）≥f（1）≥0，所以a≥1．

解答： 解：（1）a=-1時，f（x）=-x²-3x+2+2lnx，f′（x）=-2x-3+

2

x

=

-2x2-3x+2

x

；
令f′（x）=0得x=-2，或

1

2

；
∵x＞0，∴0＜x＜

1

2

，時，f′（x）＞0，∴函數f（x）在(0，

1

2

)上單調遞增，(0，

1

2

)是它的單調增區(qū)間；
x＞

1

2

時，f′（x）＜0，∴函數f（x）在[

1

2

，+∞)上單調遞減，[

1

2

，+∞)是它的單調減區(qū)間；
（2）由題意得，f（1）=a-1≥0，∴a≥1；
f′（x）=

2ax2-3x+2

x

，x＞0，對于二次函數2ax²-3x+2，△=9-16a＜0；
∴2ax²-3x+2＞0恒成立，即f′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立；
∴f（x）在[1，+∞）上遞增，所以a≥1時，f（x）≥f（1）=a-1≥0恒成立；
∴實數a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：考查函數導數符號和函數單調性的關系，二次函數取值情況和判別式△的關系，以及對函數單調性定義的利用．