Question

15．過(guò)橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)P引圓O：x²+y²=b²的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，PA、PB與x、y軸分別相交于M、N兩點(diǎn)．
（1）若橢圓C的短軸長(zhǎng)為8，且$\frac{{a}^{2}}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{^{2}}{|ON{|}^{2}}$=$\frac{25}{16}$，求此橢圓的方程；
（2）試問(wèn)橢圓C上是否存在滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0的點(diǎn)P？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得直線AB的方程為${x}_{0}x+{y}_{0}y=^{2}$．由2b=8，可得直線AB的方程為x₀x+y₀y=16．可得M$（\frac{16}{{x}_{0}}，0）$，N$（0，\frac{16}{{y}_{0}}）$，|OM|=$\frac{16}{|{x}_{0}|}$，|ON|=$\frac{16}{|{y}_{0}|}$，代入$\frac{{a}^{2}}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{^{2}}{|ON{|}^{2}}$=$\frac{25}{16}$，可得$\frac{{a}^{2}{x}_{0}^{2}}{1{6}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{16}=\frac{25}{16}$，又$\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{0}^{2}}{16}=1$，聯(lián)立可得a²=25，即可得出橢圓方程．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，連接OA，OB，由|PA|=|PB|，可知：四邊形PAOB為正方形，|OP|=$\sqrt{2}$|OA|，${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=2^{2}$，又點(diǎn)P在橢圓上，可得${a}^{2}{x}_{0}^{2}+^{2}{y}_{0}^{2}={a}^{2}^{2}$，聯(lián)立${x}_{0}^{2}$，${y}_{0}^{2}$，即可得出體積．

解答 解：（1）如圖所示，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則切線PA的方程為：${x}_{1}x+{y}_{1}y=^{2}$，切線PB的方程為：${x}_{2}x+{y}_{2}y=^{2}$，
∴直線AB的方程為${x}_{0}x+{y}_{0}y=^{2}$．
∵2b=8，∴b=4，
∴直線AB的方程為x₀x+y₀y=16．
可得M$（\frac{16}{{x}_{0}}，0）$，N$（0，\frac{16}{{y}_{0}}）$，
∴|OM|=$\frac{16}{|{x}_{0}|}$，|ON|=$\frac{16}{|{y}_{0}|}$，代入$\frac{{a}^{2}}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{^{2}}{|ON{|}^{2}}$=$\frac{25}{16}$，可得$\frac{{a}^{2}{x}_{0}^{2}}{1{6}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{16}=\frac{25}{16}$，（*）
又點(diǎn)P在橢圓上，∴$\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{0}^{2}}{16}=1$，
變形為${y}_{0}^{2}=（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{16}）{a}^{2}$，代入（*）可得a²=25，
故所求橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$（xy≠0）．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，連接OA，OB，
由|PA|=|PB|，可知：四邊形PAOB為正方形，|OP|=$\sqrt{2}$|OA|，
∴${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=2^{2}$，
又點(diǎn)P在橢圓上，∴${a}^{2}{x}_{0}^{2}+^{2}{y}_{0}^{2}={a}^{2}^{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=2^{2}}\\{{a}^{2}{x}_{0}^{2}+^{2}{y}_{0}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，解得${x}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}（{a}^{2}-2^{2}）}{{a}^{2}-^{2}}$，${y}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，
∵a＞b＞0，a²＞b²＞0，
∴當(dāng)a²≥2b²＞0時(shí)，即$a≥\sqrt{2}b$時(shí)，橢圓C上存在滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0的點(diǎn)P．
當(dāng)a²＜2b²時(shí)，橢圓C上不存在滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0的點(diǎn)P．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的切線問(wèn)題、正方形的性質(zhì)、垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．