Question

10．在復平面內(nèi)一動點M所對應的復數(shù)z，z≠1，且滿足$\frac{z-1}{z+1}$是純虛數(shù)，又復數(shù)ω=$\frac{4}{（1+z）^{2}}$，它對應復平面上的動點P，在動點P（x，y）的集合中，是否存在關于直線y=x對稱的兩點，若存在，試求出這兩點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)復數(shù)的基本運算，求出動點P的軌跡方程，利用設而不求的思想進行求解證明即可．

解答 解：∵$\frac{z-1}{z+1}$是純虛數(shù)，
∴設$\frac{z-1}{z+1}$=ti，
則z-1=zti+ti，
z（1-ti）=1+ti
則z=$\frac{1+ti}{1-ti}$，
ω=$\frac{4}{（1+z）^{2}}$=$\frac{4}{（1+\frac{1+ti}{1-ti}）^{2}}$=$\frac{4}{（\frac{2}{1-ti}）^{2}}$=（1-ti）²=1-t²-2ti，
若ω對應點的坐標為（1-t²，-2t），
設x=1-t²，y=-2t，
消去參數(shù)t得x=1-$\frac{{y}^{2}}{4}$，
即y²=4（1-x）．
若存在關于直線y=x對稱的兩點A（1-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（1-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（1-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+1-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}）=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}\\{\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{（1-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}）（1-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）}×1=-1}\end{array}\right.$，
整理得$2-\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}={y}_{1}+{y}_{2}=4$，即y₁²+y₂²=-8不成立，
即不存在關于直線y=x對稱的兩點．

點評 本題主要考查復數(shù)的幾何意義的應用以及動點軌跡的求解，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．