Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，E，F(xiàn)，G分別為PA，PB，PC的中點，直線PB⊥平面EFG，AB=$\frac{1}{3}$DC=$\frac{1}{3}$AD=1．
（1）若點M∈平面EFG，且與點E不重合，判斷直線EM與平面ABCD的關(guān)系，并說明理由；
（2）若直線PD與平面PBC的夾角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的性質(zhì)結(jié)合面面平行的判定定理得到面EFG∥面ABCD，然后可得直線EM∥平面ABCD；
（2）找出直線PD與平面PBC的夾角，通過解直角三角形求得四棱錐P-ABCD的高，然后直接代入棱錐的體積得答案．

解答 解：（1）如圖，直線EM∥平面ABCD．
事實上：
∵E，F(xiàn)，G分別為PA，PB，PC的中點，
∴EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，
∴平面EFG∥平面ABC，
∵點M∈平面EFG，且與點E不重合，∴直線EM∥平面ABCD；
（2）∵直線PB⊥平面EFG，∴面PBC⊥面ABCD，
又面PBC∩面ABCD=BC，
在面ABCD內(nèi)過D作DN⊥BC，垂足為N，連接PN，則∠DPN為直線PD與平面PBC的夾角為30°，
在直角梯形ABCD中，由AB=$\frac{1}{3}$DC=$\frac{1}{3}$AD=1，得sin$∠BCD=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，cos$∠BCD=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
∴$CN=DC•cos∠BCD=3×\frac{2\sqrt{13}}{13}=\frac{6\sqrt{13}}{13}$，$BN=\sqrt{13}-\frac{6\sqrt{13}}{13}=\frac{7\sqrt{13}}{13}$，
DN=DC$•sin∠BCD=3×\frac{3\sqrt{13}}{3}=\frac{9\sqrt{13}}{13}$，
∴$PN=\frac{DN}{tan30°}=\frac{\frac{9\sqrt{13}}{13}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{9\sqrt{39}}{13}$，
∴$PB=\sqrt{P{N}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{9\sqrt{39}}{13}）^{2}-（\frac{7\sqrt{13}}{13}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{753}}{13}$．
${S}_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×3（1+3）=6$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×6×\frac{2\sqrt{753}}{13}=\frac{4\sqrt{753}}{13}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．