Question

15．求下列函數(shù)的反函數(shù)，找出它們的定義域和值域．
（1）y=2+lg（x+1）；
（2）y=3+$\sqrt{x}$；
（3）y=$\frac{x-1}{x+1}$．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0求出原函數(shù)的定義域，進(jìn)一步求出原函數(shù)的值域，把原函數(shù)變形，化對(duì)數(shù)式為指數(shù)式，再把x，y互換求出原函數(shù)的反函數(shù)，得到反函數(shù)的定義域和值域；
（2）由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求出原函數(shù)的定義域，進(jìn)一步求出原函數(shù)的值域，把原函數(shù)變形，求出x，再把x，y互換求出原函數(shù)的反函數(shù)，得到反函數(shù)的定義域和值域；
（3）由分式的分母不為0求出原函數(shù)的定義域，進(jìn)一步求出原函數(shù)的值域，把原函數(shù)變形，求出x，再把x，y互換求出原函數(shù)的反函數(shù)，得到反函數(shù)的定義域和值域．

解答 解：（1）y=2+lg（x+1），
由x+1＞0，可得x＞-1，∴原函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），值域?yàn)镽．
由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y-2，化為指數(shù)式得，x+1=10^y-2，
x，y互換得：y=10^x-2-1，
此反函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?1，+∞）；
（2）y=3+$\sqrt{x}$，
由x≥0，可得原函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），值域?yàn)閇3，+∞）．
由y=3+$\sqrt{x}$，得$\sqrt{x}=y-3$，x=（y-3）²，
x，y互換得：y=（x-3）²，
此反函數(shù)的定義域?yàn)閇3，+∞），再由為[0，+∞）；
（3）y=$\frac{x-1}{x+1}$，
由x+1≠0，得x≠-1，∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1}，
由y=$\frac{x-1}{x+1}$=$\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$，∴原函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠1}．
由y=$\frac{x-1}{x+1}$，得yx+y=x-1，即（1-y）x=1+y，∴x=$\frac{1+y}{1-y}$，
x與y互換得：$y=\frac{1+x}{1-x}$，
此反函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，值域?yàn)閧y|y≠-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查函數(shù)的定義域及其值域的求法，明確函數(shù)的反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域是關(guān)鍵，是中檔題．