Question

6．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=（x-1）²．
（1）求f（2011）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=f（x）-lgx，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）f（2011）=f（2010+1）=f（1）=（1-1）²=0；
（2）由周期函數(shù)的特征可寫(xiě)出f（x）=（x-2n-1）²，x∈[2n，2n+2]，（n∈N）；
（3）作函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象，從而可判斷函數(shù)g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
∴f（2011）=f（2010+1）=f（1）=（1-1）²=0；
（2）∵函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
又∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=（x-1）²，
∴f（x）=（x-2n-1）²，x∈[2n，2n+2]，（n∈N）；
（3）作函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象如下，

函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，
故函數(shù)g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．