Question

8．某同學(xué)在獨立完成課本上的例題：“求證：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$”后，又進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)下面的不等式均成立．
$\sqrt{0}$+$\sqrt{10}$＜2$\sqrt{5}$
$\sqrt{1.3}$+$\sqrt{8.7}$＜2$\sqrt{5}$
$\sqrt{2}$+$\sqrt{8}$＜2$\sqrt{5}$
$\sqrt{4.6}$+$\sqrt{5.4}$＜2$\sqrt{5}$，
$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$≤2$\sqrt{5}$．
（1）請根據(jù)上述不等式歸納出一個一般性的不等式；（用字母表示）
（2）請用合適的方法證明你寫出的不等式成立．

Answer 1

分析 （1）由已知不等式，可得$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y≥0），x=y時取得等號；
（2）運用分析法證明，通過兩邊平方和完全平方公式，即可得證．

解答 解：（1）$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y≥0），
等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立．
（2）證明：運用分析法證明．
要證$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y≥0），
兩邊平方即證x+y+2$\sqrt{xy}$≤2（x+y），
即為x+y-2$\sqrt{xy}$≥0，
即有（$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$）²≥0，
上式顯然成立，且當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得等號．

點評 本題考查歸納思想的運用以及不等式的證明，注意運用分析法證明，考查推理和歸納能力，屬于中檔題．