Question

12．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2）
（1）求S_n；
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式變形，可得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，由此求得S_n；
（2）由$\frac{1}{n}{S}_{n}=\frac{1}{n（2n-1）}＜\frac{1}{n（2n-2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，求和后由放縮法可得S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．

解答 （1）解：由a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），得${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，得$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{S}_{1}}+（n-1）×2=2n-1$，
則${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$；
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{n}{S}_{n}=\frac{1}{n（2n-1）}＜\frac{1}{n（2n-2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$1+\frac{1}{2}（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．