Question

6．設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{d_n}滿足${d_n}{d_{n+1}}={（\frac{1}{2}）^{-8+{{log}_2}{b_{n+1}}}}$（n∈N^*），且d₁=16，試求{d_n}的通項公式及其前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，利用a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，列出方程組，求解公差與公比，然后求解通項公式．
（Ⅱ）利用關(guān)系式推出$\frac{{{d_{n+2}}}}{d_n}=\frac{1}{2}$，得到{d_n}是奇數(shù)項與偶數(shù)項分別是等比數(shù)列；求出通項公式，然后求解前n項和S_n．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，
且$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\（1+7d）+q=（1+2d）+（1+3d）+5\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\ 2d+q=6\end{array}\right.$解得：$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{d=\frac{11}{12}}\\{q=\frac{25}{6}}\end{array}}\right.$，
由于{b_n}是各項都為正整數(shù)的等比數(shù)列，所以$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$…（2分）
從而a_n=1+（n-1）d=2n-1，${b_n}={q^{n-1}}={2^{n-1}}$．   …（4分）
（Ⅱ）∵${b_n}={2^{n-1}}$∴l(xiāng)og₂b_n+1=n∴${d_n}{d_{n+1}}={（\frac{1}{2}）^{-8+n}}$，${d_{n+1}}{d_{n+2}}={（\frac{1}{2}）^{-7+n}}$
兩式相除：$\frac{{{d_{n+2}}}}{d_n}=\frac{1}{2}$，
由d₁=16，${d_1}{d_2}={（\frac{1}{2}）^{-8+1}}=128$，得：d₂=8∴d₁，d₃，d₅，…是以d₁=16為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
d₂，d₄，d₆，…是以d₂=8為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列   …（6分）
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，${d_n}=8×{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}-1}}=16{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$…（7分）
S_n=（d₁+d₃+…+d_n-1）+（d₂+d₄+…+d_n）=$\frac{{16×[1-{{（\frac{1}{2}）}^{\frac{n}{2}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}+\frac{{8×[1-{{（\frac{1}{2}）}^{\frac{n}{2}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=32[1-{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}}]+16[1-{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}}]=48-48{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$…（9分）
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，${d_n}=16×{（\frac{1}{2}）^{\frac{n+1}{2}-1}}=16\sqrt{2}{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$…（10分）
S_n=（d₁+d₃+…+d_n）+（d₂+d₄+…+d_n-1）
S_n=$\frac{{16×[1-{{（\frac{1}{2}）}^{\frac{n+1}{2}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}+\frac{{8×[1-{{（\frac{1}{2}）}^{\frac{n-1}{2}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=32[1-{（\frac{1}{2}）^{\frac{n+1}{2}}}]+16[1-{（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}}]=48-32\sqrt{2}{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$
∴${d_n}=\left\{{\begin{array}{l}{16{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^n}}\\{16\sqrt{2}{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^n}}\end{array}}\right.$，${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{48-48{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^n}}\\{48-32\sqrt{2}{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^n}}\end{array}}\right.$…（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和，遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查數(shù)列的函數(shù)特征，考查計算能力．