Question

16．已知函數(shù)f（x）=e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$-ax有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪{$\root{3}{2e}$}．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=e^x-ax有且只有一個(gè)零點(diǎn)可化為函數(shù)y=e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$與y=ax的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)；分a＜0與a＞0作圖討論即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x-ax有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)y=e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$與y=ax的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，作函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象如下，

結(jié)合圖象知，當(dāng)a＜0時(shí)成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，作函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象如下，

相切時(shí)成立，
故（e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$）′=$\frac{2x}{a}$e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$=$\frac{{e}^{\frac{{x}^{2}}{a}}}{x}$；
故x²=$\frac{a}{2}$；
且切點(diǎn)（x，e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$）在直線y=ax上知，
${e}^{\frac{1}{2}}$=a•$\sqrt{\frac{a}{2}}$；
故a=$\root{3}{2e}$；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪{$\root{3}{2e}$}．
故答案為：（-∞，0）∪{$\root{3}{2e}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生作圖與用圖的能力，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．