Question

7．極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，兩坐標系單位長度相同．已知曲線的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C上到直線l的距離為d的點的個數(shù)為f（d），求f（d）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得普通方程，將曲線C的極坐標方程，即ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，即可化為直角坐標方程；
（Ⅱ）圓心C（1，1）到直線l的距離為$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圓的半徑為$\sqrt{2}$，圓上的點到直線l距離d的取值范圍是0≤d≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即可求f（d）的解析式．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)，可得普通方程x+y-1=0；
曲線的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ，即ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，∴x²+y²-2x-2y=0；
（Ⅱ）x²+y²-2x-2y=0，可化為（x-1）²+（y-1）²=2，
圓心C（1，1）到直線l的距離為$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圓的半徑為$\sqrt{2}$，
圓上的點到直線l距離d的取值范圍是0≤d≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
∴f（d）=$\left\{\begin{array}{l}{1，d=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{2，\frac{\sqrt{2}}{2}＜d＜\frac{3\sqrt{2}}{2}或d=0}\\{3，d=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{4，0＜d＜\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓的位置關系的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．