Question

12．一橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞3）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P（1，m）是該橢圓曲線上一點(diǎn)，已知三角形F₁F₂P的周長(zhǎng)是18．
（1）求a的值；
（2）求m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：三角形F₁F₂P的周長(zhǎng)是18=2a+2c，即a+c=9，結(jié)合a²=9+c²可得：a值；
（2）將P（1，m）代入橢圓的方程可得m的值．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞3）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
點(diǎn)P（1，m）是該橢圓曲線上一點(diǎn)，
∴三角形F₁F₂P的周長(zhǎng)是18=2a+2c，
即a+c=9，
又由a²=9+c²得：a=5，
（2）由（1）得，橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
將P（1，m）代入得：$\frac{1}{25}$+$\frac{{m}^{2}}{9}$=1，
解得：m=±$\frac{6}{5}\sqrt{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，難度中檔．