Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，記F（x）=2f（x）+g（x）．
（1）求函數(shù)F（x）的定義域及其零點；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）-2m²+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對數(shù)函數(shù)和分式函數(shù)的定義域即可得出F（x）其定義域，利用零點的意義和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）對a分類討論可得函數(shù)F（x）的單調(diào)性，進而問題等價于關(guān)于x的方程2m²-3m-5=F（x）在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解．再利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2loga(x+1)+loga

1

1-x

（a＞0且a≠1），
要使函數(shù)F（x）有意義，則必須

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
∴函數(shù)F（x）的定義域為D=（-1，1）．
令F（x）=0，則2loga(x+1)+loga

1

1-x

=0…（*）
方程變?yōu)?span id="vlnxhlx" class="MathJye">loga(x+1)2=loga(1-x)，
∴（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3，
經(jīng)檢驗x=-3是（*）的增根，
∴方程（*）的解為x=0，
∴函數(shù)F（x）的零點為0．
（2）函數(shù)y=x+1，y=

1

1-x

在定義域D上是增函數(shù)，可得：
①當(dāng)a＞1時，F(xiàn)（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是增函數(shù)，
②當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是減函數(shù)．
因此問題等價于關(guān)于x的方程2m²-3m-5=F（x）在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解．
①當(dāng)a＞1時，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是增函數(shù)，
∴F（x）∈[0，+∞），
∴只需2m²-3m-5≥0，解得：m≤-1，或m≥

5

2

．
②當(dāng)0＜a＜1時，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是減函數(shù)，
∴F（x）∈（-∞，0]，
∴只需2m²-3m-5≤0解得：-1≤m≤

5

2

，
綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時：-1≤m≤

5

2

；
當(dāng)a＞1時，m≤-1，或m≥

5

2

．

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)類型得到的復(fù)合函數(shù)的定義域單調(diào)性及其零點、一元二次不等式的解法、方程的解等價轉(zhuǎn)化問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．