Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x²，a∈R，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x≥1時(shí)，f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)a＞0，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為曲線y=f（x）上的兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足0＜x₁＜x₂，且?x₃∈
（x₁，x₂），使得曲線y=f（x）在x=x₃處的切線與直線AB平行，求證：x₃＜

x1+x2

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來判斷f（x）的增減性，從而求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）在（1，+∞）上的最大值，令最大值小于或等于0，求出a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，求出直線AB的斜率k_AB，由直線AB與切線平行，得出x₃與x₁+x₂的關(guān)系式；
構(gòu)造函數(shù)g（t），利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式x₃＜

x1+x2

2

恒成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=alnx-x²，x＞0，a∈R，
∴f′（x）=

a

x

-2x=

a-2x2

x

；
當(dāng)a≤0時(shí)，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在定義域上是減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，即a-2x²=0，解得x=

2a

2

，
∴x＞

2a

2

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
0＜x＜

2a

2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
綜上，a≤0時(shí)，f（x）的減區(qū)間是（0，+∞），
a＞0時(shí)，f（x）的減區(qū)間是（

2a

2

，+∞），增區(qū)間是（0，

2a

2

）；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知，a≤0時(shí)，f（x）的減區(qū)間是（0，+∞），
令f（1）＜0，則-x²＜0恒成立，∴a≤0滿足題意；
a＞0時(shí)，f（x）的減區(qū)間是（

2a

2

，+∞），增區(qū)間是（0，

2a

2

）；
當(dāng)

2a

2

≤1，即0＜a≤2時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴0＜a≤2滿足題意；
當(dāng)

2a

2

＞1，即a＞2時(shí)，f（x）的最大值是f（

2a

2

），令f（

2a

2

）≤0，
即a•ln

2a

2

-(

2a

2

)2≤0，解得a≤2e，即2＜a≤2e滿足題意；
綜上，a的取值范圍是a≤2e；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為曲線y=f（x）上的兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足0＜x₁＜x₂時(shí)，
∴?x₃∈（x₁，x₂），使得曲線y=f（x）在x=x₃處的切線與直線AB平行，如圖所示；
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

(alnx2-x22)-(alnx1-x12)

x2-x1

，
又∵f′（x）=

a

x

-2x，
∴k_l=f′（x₃）=

a

x3

-2x₃．
∴

(alnx2-x22)-(alnx1-x12)

x2-x1

=

a

x3

-2x₃．
∵f′（x）=

a

x

-2x在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴欲證：x₃＜

x1+x2

2

，即證明f′（x₃）＞f′（

x1+x2

2

），
即

(alnx2-x22)-(alnx1-x12)

x2-x1

＞

2a

x1+x2

-（x₁+x₂），
變形為

aln x2 x1

x2-x1

＞

2a

x1+x2

，
∴l(xiāng)n

x2

x1

＞2•

x2-x1

x2+x1

，
∴l(xiāng)n

x2

x1

＞2•

x2 x1 -1

x2 x1 +1

；
設(shè)

x2

x1

=t（t＞1），
則上述不等式等價(jià)于lnt＞2•

t-1

t+1

，
即（t+1）lnt＞2（t-1）；
構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt+

1

t

-1，
當(dāng)t＞1時(shí)，g′（t）=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

，
∴g′（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
∴g′（t）＞g′（1）=0，
∴g（t）在t＞1時(shí)是增函數(shù)，
∴g（t）＞g（1）=0；
∴g（t）＞0在（1，+∞）上恒成立，
即（t+1）lnt＞2（t-1）恒成立．
∴x₃＜

x1+x2

2

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與極值和最值的問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線斜率的問題以及不等式的證明問題，是較難的題目．