Question

14．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x₀，y₀）、直線l：ax+by+c=0，我們稱δ=$\frac{a{x}_{0}+b{y}_{0}+c}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$為點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線l：ax+by+c=0的方向距離．
（1）設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的任意一點(diǎn)P（x，y）到直線l：x-2y=0，l：x+2y=0的方向距離分別為δ₁、δ₂，求δ₁δ₂的取值范圍．
（2）設(shè)點(diǎn)E（-t，0）、F（t，0）到直線l：xcosα+2ysinα-2=0的方程距離分別為η₁、η₂，試問是否存在實(shí)數(shù)t，對(duì)任意的α都有η₁η₂=1恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）已知直線l：mx-y+n=0和橢圓H：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），設(shè)橢圓H的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線l的方向距離分別為λ₁，λ₂，滿足λ₁λ₂＞b²，且直線l與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，試比較|AB|的長(zhǎng)與a+b的大�。�

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y）為（2cosα，sinα），0≤α＜2π，由新定義求得δ₁、δ₂，再由二倍角的余弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域即可得到所求范圍；
（2）由新定義可得為η₁、η₂，假設(shè)存在t，結(jié)合恒等式的知識(shí)，同角的平方關(guān)系，可得t的值；
（3）由新定義可得λ₁，λ₂，代入λ₁λ₂＞b²，化簡(jiǎn)整理可得n²＞b²+m²a²，再由兩點(diǎn)的距離公式，求得|AB|²=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$+n²，運(yùn)用不等式的性質(zhì)和基本不等式，即可得到大小關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y）為（2cosα，sinα），0≤α＜2π，
由題意可得δ₁=$\frac{x-2y}{\sqrt{1+4}}$，δ₂=$\frac{x+2y}{\sqrt{1+4}}$，
即有δ₁δ₂=$\frac{{x}^{2}-4{y}^{2}}{5}$=$\frac{4co{s}^{2}α-4si{n}^{2}α}{5}$=$\frac{4}{5}$cos2α，
由-1≤cos2α≤1，可得δ₁δ₂的范圍是[-$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$]；
（2）由題意可得η₁=$\frac{-tcosα-2}{\sqrt{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}}$，η₂=$\frac{tcosα-2}{\sqrt{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}}$，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，對(duì)任意的α都有η₁η₂=1恒成立．
即有$\frac{4-{t}^{2}co{s}^{2}α}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=1，
即為4-t²cos²α=cos²α+4sin²α=4-3cos²α，
即有t²=3，解得t=±$\sqrt{3}$，
故存在，且t=±$\sqrt{3}$；
（3）設(shè)點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由題意可得λ₁=$\frac{-mc+n}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，λ₂=$\frac{mc+n}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
λ₁λ₂＞b²，即為$\frac{{n}^{2}-{m}^{2}{c}^{2}}{1+{m}^{2}}$＞b²，
即有n²-m²c²＞b²+b²m²，
即為n²-m²（a²-b²）＞b²+b²m²，
化簡(jiǎn)可得n²＞b²+m²a²，
由題意可得A（-$\frac{n}{m}$，0），B（0，n），
可得|AB|=$\sqrt{\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}+{n}^{2}}$，
由|AB|²=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$+n²＞$\frac{^{2}+{m}^{2}{a}^{2}}{{m}^{2}}$+b²+m²a²，
=a²+b²+$\frac{^{2}}{{m}^{2}}$+m²a²≥a²+b²+2ab=（a+b）²，
即有|AB|＞a+b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，以及恒等式的結(jié)論和基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．