Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，等比數(shù)列{b_n}的公比為3，且b₁+b₃=10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=$\frac{3_{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，兩邊取倒數(shù)，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}=1+\frac{2}{{a}_{n}}$，
化為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$．
∴a_n=$\frac{2}{n}$．
（2）∵等比數(shù)列{b_n}的公比為3，且b₁+b₃=10．
∴$_{1}（1+{3}^{2}）$=10，
解得b₁=1．
∴b_n=3^n-1．
c_n=$\frac{3_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n•3}^{n}}{2}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}（3+2×{3}^{2}+…+n•{3}^{n}）$，
3T_n=$\frac{1}{2}（{3}^{2}+2×{3}^{3}+…+n•{3}^{n+1}）$，
∴-2T_n=$\frac{1}{2}（3+{3}^{2}+…+{3}^{n}-n•{3}^{n+1}）$=$\frac{1}{2}（\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}-n•{3}^{n+1}）$，
化為T(mén)_n=$\frac{2n-1}{8}•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．