Question

已知（

3	x

+x²）²ⁿ的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開式的系數(shù)和大992，
（1）求（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的有理項(xiàng)；
（2）求（x²-

1

x

）ⁿ展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）由題意可得2²ⁿ-（3-1）ⁿ=992，求得n=5．在（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得得r的值，可得（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的有理項(xiàng)．
（2）求出（x²-

1

x

）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式，可得第r+1項(xiàng)的系數(shù)，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

解答： 解：（1）由題意可得2²ⁿ-（3-1）ⁿ=992，解得2ⁿ=32，n=5．
∴（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 5

•(

1

2

)r•x

5

2

-

3r

4

．
令

5

2

-

3r

4

 為整數(shù)，可得r=2，故（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展開式的有理項(xiàng)為 T₃=

C

2 5

•

1

4

x=

5

2

x．
（2）求（x²-

1

x

）ⁿ=（x²-

1

x

）⁵展開式的通項(xiàng)公式為

C

r 5

•（-1）^r•x^10-3r，
故第r+1項(xiàng)的系數(shù)為

C

r 5

•（-1）^r，r=0，1，2，3，4，5，
利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得r=2時(shí)，第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，此項(xiàng)即T₃=10x⁴；
檢驗(yàn)可得r=3時(shí)，第r+1項(xiàng)的系數(shù)最小，此項(xiàng)即T₄=-10x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．