Question

若橢圓

x2

m

+y2=1 (m＞1)與雙曲線

x2

n

-y2=

1

(n＞0)有相同的焦點F₁、F₂，P是兩曲線的一個交點，則△F₁PF₂的面積是（　　）

A．4

B．2

C．1

D． 1 2

Answer 1

由題意設兩個圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2

m

，雙曲線的實軸長為2

n

，
由它們有相同的焦點，得到m-n=2．
不妨設m=5，n=3，
橢圓的長軸長2

5

，雙曲線的實軸長為2

3

，
不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2

3

  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2

5

  ②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=16
又|F₁F₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
則△F₁PF₂的形狀是直角三角形
△PF₁F₂的面積為

1

2

•PF₁•PF₂=

1

2

（

5

+

3

）（

5

-

3

）=1
故選C．