Question

若橢圓

x2

m

+y2=1 (m＞1)與雙曲線

x2

n

-y2=

1

(n＞0)有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則△F₁PF₂的面積是（　　）

• A、4
• B、2
• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)兩個(gè)圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2

m

，雙曲線的實(shí)軸長為2

n

，由它們有相同的焦點(diǎn)，得到m-n=2．不妨設(shè)m=5，n=3，根據(jù)雙曲線和橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2

5

，|PF₁|-|PF₂|=2

3

，△PF₁F₂ 中，由三邊的關(guān)系得出其為直角三角形，由△PF₁F₂的面積公式即可運(yùn)算得到結(jié)果．

解答：解：由題意設(shè)兩個(gè)圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2

m

，雙曲線的實(shí)軸長為2

n

，
由它們有相同的焦點(diǎn)，得到m-n=2．
不妨設(shè)m=5，n=3，
橢圓的長軸長2

5

，雙曲線的實(shí)軸長為2

3

，
不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2

3

  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2

5

  ②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=16
又|F₁F₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
則△F₁PF₂的形狀是直角三角形
△PF₁F₂的面積為

1

2

•PF₁•PF₂=

1

2

（

5

+

3

）（

5

-

3

）=1
故選C．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點(diǎn)三角形的邊長來．