分析 用A表示出B,代入條件式得出關(guān)于A的方程,利用兩角和差的正弦函數(shù)公式計(jì)算A,再利用正弦定理解出a,b,得出三角形面積.
解答 解:∵C=$\frac{π}{3}$,∴B=$\frac{2π}{3}-A$,B-A=$\frac{2π}{3}-2A$,
∵sinC+sin(B-A)=2sin2A,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin($\frac{2π}{3}-2A$)=2sin2A,即$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A+$\frac{1}{2}$sin2A=2sin2A,
∴$\sqrt{3}$sin(2A-$\frac{π}{6}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴sin(2A-$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$.
∵0<A<$\frac{2π}{3}$,∴-$\frac{π}{6}$<2A-$\frac{π}{6}$<$\frac{7π}{6}$,
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$,
解得A=$\frac{π}{6}$或A=$\frac{π}{2}$.
(1)若A=$\frac{π}{6}$,則B=$\frac{π}{2}$,由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$,
即$\frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{1}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
∴S△ABC=$\frac{1}{2}ac$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
(2)若A=$\frac{π}{2}$,則B=$\frac{π}{6}$,由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$,
即$\frac{a}{1}=\frac{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,解得a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}bc$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
綜上,S△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,正弦定理,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | {x|-1≤x≤1} | B. | {x|-1≤x<1} | C. | {x|-1<x≤1} | D. | {x|-1≤x<2} |
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