Question

12．設函數(shù)f（x）=ax-sinx．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是單調增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用f′（x）=a-cosx≥0在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax-sinx，
∴f′（x）=a-cosx，
∵函數(shù)f（x）在R上是單調增函數(shù)，
∴f′（x）=a-cosx≥0在R上恒成立，
∴a≥1；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，f′（x）=$\frac{1}{2}$-cosx，
∴當x∈（$\frac{1}{3}π$，$\frac{1}{2}$π）時，f'（x）＞0，f（x）遞增
當x∈（0，$\frac{1}{3}π$）時，f'（x）＜0，f（x）遞減
∴f（x）的最大值為f（0）=$\frac{π}{4}$-1，f（x）的最小值為f（$\frac{1}{3}π$）=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性、最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．