Question

11．如圖所示，已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，直線AB：y=kx+m（k＜0）與橢圓C交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ） 若k=-1，m=$\sqrt{2}$，點(diǎn)P在直線AB上求|PF₁|+|PF₂|的最小值；
（Ⅱ） 若以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F₂，且原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求直線AB的方程；
（2）在橢圓C上求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，使得△ABQ的面積最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線AB的方程，求出F₂關(guān)于直線AB的對(duì)稱${F}_{2}′（\sqrt{2}，\sqrt{2}-1）$，然后求解|PF₁|+|PF₂|的最小值．
（Ⅱ）（1）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用原點(diǎn)O到直線AB的距離得到m、k的關(guān)系，聯(lián)立y=kx+m與$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，通過韋達(dá)定理以及$\overrightarrow{A{F_2}}•\overrightarrow{B{F_2}}=0$，求出m、k的值，然后求出AB的方程．
（2）由（1）可知，|AB|是定值，當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)Q使得△ABQ的面積最大時(shí)，點(diǎn)Q到直線AB的距離為最大，即點(diǎn)Q為在直線AB的下方平行于AB且與橢圓C相切的切點(diǎn)．設(shè)平行于AB且與橢圓C相切的切線方程，與橢圓聯(lián)立，利用判別式為0，求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 由橢圓方程可得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．        …（1分）
當(dāng)k=-1，$m=\sqrt{2}$時(shí)，直線AB的方程為$y=-x+\sqrt{2}$．        …（2分）
則可得F₂（1，0）關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為${F}_{2}′（\sqrt{2}，\sqrt{2}-1）$．         …（3分）
∴|PF₁|+|PF₂|的最小值為：$|{F}_{1}{F}_{2}′|=\sqrt{{（\sqrt{2}+1）}^{2}+{（\sqrt{2}-1）}^{2}}=\sqrt{6}$．  …（4分）
（Ⅱ）：（1）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，得$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，即${m^2}=\frac{4}{5}（1+{k^2}）$．①…（5分）
將y=kx+m代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（2k²-m²+1）＞0，∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．                   …（6分）
由已知，得$\overrightarrow{A{F_2}}•\overrightarrow{B{F_2}}=0$，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0．         …（7分）
∴（x₁-1）（x₂-1）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（km-1）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+1=0$，
∴$（1+{k^2}）•\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+（km-1）•\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}+{m^2}+1=0$，
化簡(jiǎn)，得3m²+4km-1=0．②…（8分）
由①②，得${m^2}=\frac{4}{5}[1+{（\frac{{1-3{m^2}}}{4m}）^2}]$，即11m⁴-10m²-1=0，∴m²=1．
∵k＜0，∴$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ k=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，滿足△=8（2k²-m²+1）＞0．
∴AB的方程為$y=-\frac{1}{2}x+1$． …（9分）
（2）由（1）可知，|AB|是定值，當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)Q使得△ABQ的面積最大時(shí)，點(diǎn)Q到直線AB的距離為最大，即點(diǎn)Q為在直線AB的下方平行于AB且與橢圓C相切的切點(diǎn)．設(shè)平行于AB且與橢圓C相切的切線方程為$y=-\frac{1}{2}x+n（n＜0）$，由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得$\frac{3}{2}{x^2}-2nx+2{n^2}-2=0$，∴△=-8n²+12=0，
∴$n=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，（$n=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$舍去），…（11分）
從而，可得Q的坐標(biāo)為$Q（-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$．                 …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．