Question

1．在極坐標系中，極點為O，已知P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（1+$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），曲線C：p=2$\sqrt{2}$sinθ．
（1）求直線P₁P₂的極坐標方程；
（2）記直線P₁P₂與曲線C交與A，B兩點，求∠AOB的大小．

Answer 1

分析 （1）由P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（1+$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得直角坐標P₁，P₂．可得直角坐標方程，再化為極坐標方程即可．
（2）曲線C：ρ=2$\sqrt{2}$sinθ，化為${ρ}^{2}=2\sqrt{2}ρsinθ$，可得直角坐標方程為：${x}^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}$=2．曲線C是以M$（0，\sqrt{2}）$為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓．過點M作MQ⊥AB與點Q，連接MA，MB，MP₂，MO．利用斜率與直角三角形的邊角關系可得：∠AMQ，利用∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AMB=∠AMQ即可得出．

解答 解：（1）由P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（1+$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得：P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（0，1+$\sqrt{2}$）．
∴直線P₁P₂的直角坐標方程為：$\frac{x}{1+\sqrt{2}}+\frac{y}{1+\sqrt{2}}$=1，化為x+y=1+$\sqrt{2}$．
∴極坐標方程為：ρcosθ+ρsinθ=1+$\sqrt{2}$．
（2）曲線C：ρ=2$\sqrt{2}$sinθ，化為${ρ}^{2}=2\sqrt{2}ρsinθ$，
可得直角坐標方程為：x²+y²=2$\sqrt{2}$y，
配方為${x}^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}$=2．
∴曲線C是以M$（0，\sqrt{2}）$為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓．
過點M作MQ⊥AB與點Q，連接MA，MB，MP₂，MO．
在Rt△MQP₂中，∠MP₂Q=∠OP₂P₁=45°，
∴|MP₂|=|OP₂|-|OM|=1．
故|MQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|MP₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△MQA中，|MQ|=$\frac{1}{2}$|AM|，
故∠AMQ=60°，
因此∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AMB=∠AMQ=60°．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程互化的方法、直線與圓相交問題、垂經定理、圓心角與圓周角的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．