Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線C右支上異于頂點的一點，△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸切于點（1，0），且P與點F₁關于直線y=-$\frac{bx}{a}$對稱，則雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 設點P是雙曲線右支上一點，按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，設三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點．由同一點向圓引得兩條切線相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標．即為a=1，運用對稱思想，結(jié)合中點坐標公式和兩直線垂直的條件，再由直線的斜率公式和點P滿足雙曲線方程，化簡整理，即可得到b=2，進而得到雙曲線方程．

解答 解：點P是雙曲線右支上一點，
由雙曲線的定義，可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
若設三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），該點也是內(nèi)切圓與橫軸的切點．
設B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點．考慮到同一點向圓引的兩條切線相等：
則有：PF₁-PF₂=（PB+BF₁）-（PC+CF₂）
=BF₁-CF₂=AF₁-F₂A
=（c+x）-（c-x）
=2x=2a，即x=a，
所以內(nèi)切圓的圓心橫坐標為a．
由題意可得a=1，
設P（m，n），F(xiàn)₁（-c，0），
P與點F₁關于直線y=-$\frac{bx}{a}$對稱，可得
$\frac{n-0}{m+c}$=$\frac{a}$，$\frac{1}{2}$n=-$\frac{2a}$（m-c），
解得m=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$．
即有P（$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，$\frac{2ab}{c}$），
代入雙曲線的方程可得$\frac{（^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
由a=1，c²-b²=1，
解得b=2，c=$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法的運用，以及直線的斜率公式的運用，切線的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．