已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：無論m為何值，直線L與圓C恒有兩個公共點；
（2）當m為何值時，直線被圓截得的弦最短，最短的弦長是多少？
考點：直線與圓相交的性質(zhì)
專題：計算題,直線與圓
分析：（1）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點；
（2）說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長．
解答： （1）證明：將l的方程整理為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由
x+y-4=0
2x+y-7=0
，解得x=3，y=1，
則無論m為何值，直線l過定點D（3，1）．
（2）解：因為（3-1）2+（1-2）2=5＜25，
則點D在圓C的內(nèi)部，直線l與圓C相交．
圓心C（1，2），半徑為5，|CD|=
(3-1)2+(1-2)2
=
5
，
當截得的弦長最小時，l⊥CD，由于kCD=
2-1
1-3
=-
1
2
，
則l的斜率為2，即有-
2m+1
m+1
=2，解得m=-
3
4
．
此時最短弦長為2
52-5
=4
5
，
故當m=-
3
4
時，直線被圓截得的弦最短，最短的弦長是4
5
．
點評：本題考查直線系方程的應用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識的運用，考查計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
x2+4
+
(x-2)2+1
的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，D在BC上，
BD
=2
DC
，設(shè)
AB
=
a
，
AC
=
b
，則
AD
=（　�。�
A、
2
3
a
+
1
3
b
B、
1
3
a
+
2
3
b
C、
1
2
a
+
1
2
b
D、
1
2
a
-
1
2
b

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于在區(qū)間[a，b]上有意義的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對于任意x∈[a，b]均有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上是接近的．若f（x）=log2（ax+1）與g（x）=log2x在區(qū)[1，2]上是接近的，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、?[0，1]
B、[2，3]
C、[0，2）
D、（1，4）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

執(zhí)行如圖的程序框圖，任意輸入一次x（x∈Z，-2≤x≤2）與y（y∈Z，-2≤y≤2），則能輸出數(shù)對（x，y）的概率為（　�。�
A、
9
25
B、
1
2
C、
1
3
D、
3
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知p：“a=b”是“ac=bc”充要條件；q：“a＜5”是“a＜3”的必要不充分條件，則下列判斷中，錯誤的是（　　）
A、p或q為真，非q為假
B、p或q為真，非p為真
C、p且q為假，非p為假
D、p且q為假，p或q為真

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將一張坐標紙折疊一次，使點A（10，0）與點B（-6，8）重合．
（1）求折痕所在直線的方程；
（2）求與點C（-4，2）重合的點D的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線ax-by=0與圓x2+y2-ax+by=0（a2+b2≠0）得位置關(guān)系是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定購物付款總額要求如下：
①如果一次性購物不超過200元，則不給予優(yōu)惠；
②如果一次性購物超過200元但不超過500元，則按標價給予9折優(yōu)惠；
③如果一次性購物超過500元，則500元按第②條給予優(yōu)惠，剩余部分給予7折優(yōu)惠．
甲單獨購買A商品實際付款100元，乙單獨購買B商品實際付款450元，若丙一次性購買A，B兩件商品，則應付款
 
元．

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