2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sinA+cos(A+$\frac{π}{6}$)=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,b+c=4,則△ABC周長的取值范圍是( 。
A.[6,8)B.[6,8]C.[4,6)D.(4,6]

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得sin(A+$\frac{π}{3}$)=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,結(jié)合A的范圍可求A,再由余弦定理求得a2=16-3bc,再由基本不等式,求得bc的范圍,即可得到a的范圍,進(jìn)而可求周長的范圍.

解答 解:∵sinA+cos(A+$\frac{π}{6}$)=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,可得:sin(A+$\frac{π}{3}$)=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∵A∈(0,π),A+$\frac{π}{3}$∈($\frac{π}{3}$,$\frac{4π}{3}$),
∴A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$,解得A=$\frac{π}{3}$,
∵b+c=4,
∴由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-bc=16-3bc,
∵由b+c=4,b+c≥2$\sqrt{bc}$,得0<bc≤4,
∴4≤a2<16,即2≤a<4.
∴△ABC周長L=a+b+c=a+4∈[6,8).
故選:A.

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,余弦定理及運(yùn)用,同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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