Question

12．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥CD，PA=2，PD=2$\sqrt{2}$，E為PD上的一點，且PE=3ED．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的正切值；
（Ⅲ）在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，求出PF的長度，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥AD，PA⊥CD，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接BD交AC于O點，過E作EM⊥AD于M點，過M作MN⊥AC于N點，連接EN，則∠ENM為二面角D-AC-E的平面角，由此能求出二面角D-AC-E的正切值．
（Ⅲ）取PD的中點為S點，連接BS，則OE∥BS，且PS：SE=2：1，從而得到PF：FC=2：1時，SF∥CE，BF∥平面AEC，并能求出PF的長．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA=AD=2，PD=2$\sqrt{2}$，
∴PA²+AD²=PD²，∴PA⊥AD，
又PA⊥CD，且CD∩AD=D，
∴PA⊥平面ABCD． …（3分）
解：（Ⅱ）連接BD交AC于O點，
過E作EM⊥AD于M點，由（1）得EM⊥平面ACD，再過M作MN⊥AC于N點，連接EN，
則∠ENM為二面角D-AC-E的平面角，…（5分）
在△PAD中，EM=$\frac{1}{4}PA=\frac{1}{2}$，在△AOD中，MN=$\frac{3}{4}OD=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴在Rt△EMN中，tan$∠ENM=\frac{EM}{MN}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴二面角D-AC-E的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．…（8分）
（Ⅲ）存在點F，使得BF∥平面AEC．…（9分）
取PD的中點為S點，連接BS，∴OE∥BS，且PS：SE=2：1，
∴PF：FC=2：1時，SF∥CE，
∴平面BSF∥平面AEC，∴BF∥平面AEC．
∴PF=$\frac{2}{3}$PC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．