Question

11．已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長，a=c，且滿足bsinA=$\sqrt{3}$acosB．點(diǎn)O為△ABC外一點(diǎn)，OA=2OC=4，求平面四邊形ABCO的面積的最大值．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，結(jié)合sinA＞0，可求tanB=$\sqrt{3}$，結(jié)合B的范圍可求B的值，進(jìn)而可得△ABC為正三角形，設(shè)∠AOC=α，在△AOC中，由余弦定理可得AC²的值，利用三角形面積公式可求S_△ABC，S_△AOC，從而可求平面四邊形OABC的面積S=5$\sqrt{3}$+8sin（$α-\frac{π}{3}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解其最大值．

解答 （本題滿分為10分）
解：∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
∴由正弦定理可得：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，
∵A∈（0，π），sinA＞0，
∴可得：sinB=$\sqrt{3}$cosB，即：tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$，
∵a=c，
∴△ABC為正三角形，…4分
設(shè)∠AOC=α，在△AOC中，由余弦定理可得：AC²=16+4-16cosα=20-16cosα，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²sin$\frac{π}{3}$=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$cosα，S_△AOC=$\frac{1}{2}×4×2sinα$=4sinα，
∴平面四邊形OABC的面積S=5$\sqrt{3}$+4（sin$α-\sqrt{3}cosα$）=5$\sqrt{3}$+8sin（$α-\frac{π}{3}$），…8分
∴可得：當(dāng)$α=\frac{5π}{6}$時(shí)，平面四邊形OABC的面積S_max=5$\sqrt{3}$+8．…10分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．