Question

20．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（　�。�

• A． y=sinx，x∈R
• B． y=x²，x∈R
• C． y=x-$\frac{1}{x}$，x≠0
• D． y=2^-x，x∈R

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，奇函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，以及正弦函數(shù)、一次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性的定義便可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：A．y=sinx在（0，+∞）上沒(méi)有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．y=x²是偶函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}；且$（-x）-\frac{1}{（-x）}=-（x-\frac{1}{x}）$；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
y=x和y=$-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上都為增函數(shù)；
∴$y=x-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴該選項(xiàng)正確；
D.$y={2}^{-x}=（\frac{1}{2}）^{x}$；
$y=（\frac{1}{2}）^{x}$的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，奇函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，以及正弦函數(shù)、一次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性的定義．